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先利用欧拉公式证明以下初步估计：若图G恰有n个顶点和e条边，则
考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
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五色笔，是古代中国传说中有法力的仙笔。关于五色笔的故事，有两种说法。
南朝．梁．钟嵘《诗品．齐光禄江淹》：才子江淹以其出众文采称著于世。晚年时，他在梦中遇见一位叫郭璞的人。他对江淹说：「我的笔在你这里多年，请你现在把它还我。」于是江淹便从怀里掏出一支五色笔给他，他本人也在交笔同时醒过来。后来江淹发现自己再也没法作诗。「江郎才尽」这个成语也是从此而来。
有个叫廉广的人在泰山采药时，从一名隐士手中接下一枝笔，凡是用这枝笔画出来的事物都会从画中跑出来变成真的东西。可是廉广也因为这枝笔而被人认为是懂妖术的人，结果被关进牢狱。后来他听了隐士在梦中的提议，画中一只巨鸟并成功越狱；当他降落在泰山时，隐士出现在他面前并感叹道：「我在带给你福运的同时，也为你招来灾祸。」最后隐士把笔要回去，并从廉广身边离开了。
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筑波大学医疗技术短期大学部，简称医短，是过去一所位于日本茨城县筑波市的国立短期大学。
* 短期大学成立于1978年、为于1979年开办、由筑波大学经营。招生到2002年、停办于2006年。为男女同校。
* 1979年 筑波大学医疗技术短期大学部成立并同时设置一个学科即护理学科。
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