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以下是另一个的证明，所用到的只是微积分的基本技巧。它本来只是用于显示可以用有系统的方法计算π的值，而非以证明为最终目标。它比起一些基本证明更容易理解（1938）《数论介绍》第5版，美国牛津大学出版社（1980年4月17日）ISBN 978-0-19-853171-5。它的优雅是由于它和丢番图逼近的关连。路卡斯称这条公式为「其中一个估计π值的最美丽结果」这著作开首便道这是「其中一个估计π值的最美丽结果」。。Havil以这个结果作为一个有关以连分数估计的讨论之结尾，说它在该范畴是「不得不提及」的。

被积函数是一个分数，其分子和分母皆是非负函数，所以该积分是正数。由于被积函数是正数，由0至1的定积分也大于0。

求取这积分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一个题目：

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两个拳头打人是1950年代末中苏交恶至1960年代末期间中华人民共和国的外交政策，即同时对抗美国和苏联，类似的宣传口号为「既反帝又反修」。中华人民共和国也因此成为当时世界上极少数同时与两个超级大国对抗的国家。

1970年代初，中华人民共和国为了联合美国对抗苏联，开始将两个拳头打人政策转变为一条线、一大片。

两个拳头打人这一称呼最初来自于第一次国共内战期间的1933年，当时共产国际军事总顾问向红一方面军传达指示，要求其分为两部份作战，这一指示因而被称为「两个拳头打人」。

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在后倭马亚王朝的经营下，安达卢斯成为了学术的灯塔，而首府科尔多瓦还成为了全地中海盆地、欧洲和伊斯兰世界最顶尖的经济及文化中心之一，兼欧洲最大城市。许多先进的伊斯兰和西方科学来自安达卢斯，例如伊本·弗纳斯（Ibn Firnas）发明的第一款滑翔机，三角学、天文学、手术、药剂、农业学的其他成就，以及伊本·鲁世德的杰作。安达卢斯成为欧洲和地中海沿岸地区的主要教育中心，并成为伊斯兰世界和基督教世界之间进行文化和科学交流的渠道。

在历史上的大部分时间，安达卢斯一直与北方的基督教王国起冲突。后倭马亚王朝灭亡后，安达卢斯分裂出多个小国。而基督教王国的攻势亦日益凌厉，以卡斯蒂利亚为主。穆拉比特王朝介入并挡住了基督教阵营的攻势，废除了一些较弱的安达卢斯亲王国，以及建立了柏柏尔人对安达卢斯的直接统治。在后一个半世纪，安达卢斯受到了都城位于马拉喀什的柏柏尔帝国，穆拉比特王朝与穆瓦希德王朝的统治。

最终，北方的基督教王国压过了南部的伊斯兰国家，向南推进。 1085年，阿方索六世攻下了托莱多，开始了伊斯兰势力的衰落。随著1236年科尔多瓦的陷落，南部大部分地方已经落到基督教王国手上，格拉纳达酋长国两年以后也成为了卡斯蒂利亚王国的附庸。 1249年，葡萄牙的收复失地运动以征服阿尔加维作结，使格拉纳达酋长国成为半岛仅存的伊斯兰国家。最后，在1492年1月2日，格拉纳达伊玛目穆罕默德十二世向卡斯蒂利亚女王伊莎贝拉一世投降，基督教王国的收复失地运动完成。

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