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更新于 2026-10-24

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* 一个平凡的例子是,任何一个(微分分次)结合代数都是一个A无穷代数。这里只要令都等于0就行了。

* 除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外,陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子,其中陈国才的构造更为深刻,成为有理同伦论(rational homotopy theory)中一个重要的理论。给定一个流形,考虑它上面的微分形式,这是一个微分分次代数(differential graded algebra, DGA),同时我们还可以考虑它的上同调,赋以一个平凡的微分,则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的!比如说,根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表,这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解,我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去,但是这样定义出来的乘法却不再是结合的,但是在同伦的意义下结合。以此,我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路,但是陈国才走的更远,他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系,以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系,跟Sullivan后来研究流形的形式化(formality)有相似之处。

Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解(resolution)的理论中。给定一个代数结构,我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构(对比于流形,这样分解就是波斯尼科夫塔)。这其中,所谓的科祖分解是一种非常有效的分解方式,而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中:对于一个结合代数,它的科祖分解有一个A无穷代数结构,而这个A无穷代数的科祖分解又是一个A无穷代数,如此不已。但是,原来的结合代数和两次科祖分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的,第二个分解和第四个分解也是如此,如此循环。这就是所谓的科祖对偶(Koszul duality)的概念。

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第32届奥林匹克运动会组织委员会,简称东京奥组委、东奥组委会,正式名称为公益财团法人东京奥林匹克、帕拉林匹克竞技大会组织委员会(公益财団法人东京オリンピック・パラリンピック竞技大会组织委员会;The Tokyo Organising Committee of the Olympic and Paralympic Games,简称TOCOG),系筹划与举办2020年夏季奥林匹克运动会及2020年夏季帕拉林匹克运动会的组织机构。于2014年1月24日成立,并于2022年6月30日解散。

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在刚成立时,厂址位于香港鲗鱼涌英皇道979号(现太古坊濠丰大厦),而在当时主要股东为凸版印刷(日本总社)及以个人名义参与的胡仙,但由于当时凸版印刷(香港)在成立初期短时间内没有太大发展,因此胡仙于不久后退出,使公司变成全为日资拥有。

1995年9月,由于希望扩大生产力而进行扩充,迁进了元朗创新园,厂房设计为2层式平房,办事处与工场位于同一建筑物之内。工场内拥有7台卷筒纸印刷机、6台单张纸印刷机(2007年8月)及其他大型设备,在东南亚之中颇具规模。该社为香港之中较大型的印刷会社,其主要服务对像为香港本地、美国、欧洲及澳洲等。

凸版印刷(香港)在元朗的工厂于2017年12月31日结束印刷业务,并称未来业务将转移至数码产品,并会利用「信息及通信技术」作为增值推广服务。

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