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是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在下是左不变的。换句话说，空间和分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素的作用下不变。

要比较不同点q处的向量的长度，需要有度量。上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量的长度在的作用下指数增大。向量的长度在的作用下指数衰减。中的向量不变。测地流是不变的

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2010年7月，克拉姆尼成为斯图加特的19岁以下（U19）梯队主教练。从2010年10月13日至2010年12月12日期间，他曾在一线队以助教身份辅佐新任主教练延斯·凯勒。当凯勒被解职后，克拉姆尼又重返斯图加特的U19梯队担当主教练。

2011年7月1日，克拉姆尼接任斯图加特二队的主教练，并于2015年11月24日成为一线队的临时主教练，直至他被任命为正式主教练。他带领一线队所参加的首场比赛便以1比4不敌多特蒙德而告终。在2015年12月20日，卡拉姆尼获委任为斯图加特的全职主教练。

* 德国足球冠军：1992年（随斯图加特）

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杰林斯基在赢得第1个ATP巡回赛冠军——2021 Moselle Open男子双打比赛（与同胞休伯特·胡尔卡奇搭档）后世界双打排名进入到前100（第99位）。

2022年1月，他作为波兰队的一员参加了2022年ATP杯，在那里他与Szymon Walków合作参加了双打比赛，并在小组赛战胜了格鲁吉亚和阿根廷，进入了半决赛。在半决赛中，这对组合虽然在双打中再次战胜西班牙，但球队未能晋级决赛。

2022年7月18日，他在世界排名来到第49位。今年8月，他首次亮相ATP大师赛，他与胡尔卡奇搭档在2022 National Bank Open上首次进入半决赛。

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