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在数学上,莱夫谢茨对偶是庞加莱对偶的一种拓展,使得最初的庞加莱对偶可以作用于带边流形 。它最初由莱夫谢茨于1926年提出。
令 是 维可定向紧流形,边界为 ,令 为 的定向所决定的基本类。与 的杯积诱导了 的(上)同调群和 的相对(上)同调群的配对;由此便可得到
这里的 实际上可以是空的,此时,莱夫谢茨对偶退化为庞加莱对偶。
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在熊本方面,明治41年(1908年)6月1日八代站 - 人吉站通车,自此,仅余人吉站 - 吉松站尚未完成。整条路线的建筑瓶颈在于贯通南九州中央的山岳地区,对于当时的工程技术是一项艰难的任务,因此以折返式构造、迂回线的方法来解决。最终于明治42年(1909年)11月21日人吉站 - 吉松站通车,由鹿儿岛可畅通至福冈、门司,乃至于转搭关门连络船前往大阪与东京。而为纪念全线贯通,特地以蒸汽机车的车轮作成「肥萨铁道开通记念碑」,目前伫立于吉松站前。大正元年(1912年)10月1日,宫崎线吉松至小林町站(现在的小林站)通车,也是首次有铁路线进入宫崎县境。其后于大正2年(1913年)5月11日延伸至谷头站,同年10月8日延伸至都城站,大正5年(1916年)10月25日延伸至宫崎站,全线通车。自此吉松承接鹿儿岛、宫崎、熊本三方的物资流通,成为繁荣一时的要津。除了物资与人员往来外,吉松站亦担负邻近路线的管理维护,故设立吉松机务段。吉松机务段的成立亦吸引大量的家眷于此居住。
然而好景不常,昭和2年(1927年)10月17日汤浦站 - 水俣站通车后,八代与鹿儿岛两地之间不再经过吉松,而是改走地形较为平缓且效率较高的海线,八代 - 吉松 - 鹿儿岛从鹿儿岛线分离并更名为肥萨线,等级从主干线降级为支线。宫崎方面,昭和7年(1932年)12月6日大隅大川原站 - 雾岛神宫站通车后,都城站至隼人站改行新线,不必再绕远路经过吉松。原先吉松 - 都城也从主干线分离出成为支线,更名为吉都线。在新线通车的冲击下,吉松站地位大不如前,目前仅是两条地方交通线的交会点。
* 1903年(明治36年)9月5日 - 鹿儿岛线横川站(现在的大隅横川站)- 吉松站通车,同时设立吉松站。
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