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吉布斯自己也考虑了如果理想气体的熵不混合，会出现两个理想气体相同的容器中的体积、质量、温度、压力等都相同的问题。
每个容器都有一定的熵S取决于每个容器的体积，当打开容器壁间的门，让气体颗粒在容器之间混合，此时由于系统处于平衡状态，因此不会发生宏观变化。双容器系统中的气体熵可以很容易地计算，但如果方程不混合，熵就不会是2S。事实上，吉布斯定义和研究的非广义熵数量将预测更多的熵。关上门后再次将熵减少到2S，这被认为违反了热力学第二定律。
真要解吉布斯悖论就必须证明混合熵实际上是连续变化的。约翰·冯·诺伊曼提出混合熵随A和B的相似程度的变化而连续地变为零。
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标准的布朗桥 为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件下的维纳过程 （Wiener Process）。
它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 在条件 下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：
我们可以考察条件分布 。 由依分布收敛 可得：
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歌名中「朋友战队」（Frienger）一词来自大冢爱的组合字，将「Friend」以及「Ranger」两字混合。在单曲封面中，歌名以英文的「Frienger」表示。
《朋友战队》的音乐录影带首次于日本以外拍摄，地点在台湾台北市内湖区，骑机车的路段则位于内湖环山路一段。
* :东芝「au CDMA 1X WIN MUSIC-HDD」广告配乐。
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