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点上半连续，则 亦然；若两者皆非负，则 在该点也是上半连续。若 在一点上半连续，则 在该点下半连续，反之亦然。
若 为紧集（例如闭区间），则其上的上半连续函数必取到极大值，而下半连续函数必取到极小值。
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同年十一月，冉闵所统领的冉魏十万大军逼近襄国地区，并与驻守当地的后赵军队发生多次激战，期间，冉闵一路筑丘砌城，挖掘地道的方式逐步向襄国推进，但由于襄国城池很坚固，守备较为严密，一时还难以拿下，冉闵改变战略，将速战速决改为长期围困，在襄国城下修葺营地，命令军士垦作，以自给自足，就这样冉魏十万大军便对襄国进行了长期的围困，其时间长达一百多天。后赵永宁二年（351年）二月，此时身处襄国城内的后赵皇帝石祗由于冉闵的长期围困很是恐慌，虽然襄国城一时之间还难以被攻破，但冉闵的长期围困已然使石祗觉得朝不保夕了，在这种情况下，石祗无法，只好自除帝号，降称赵王，向冉闵示弱，以求对方放其一马，解除围困，但冉闵并没有因此放弃攻占襄国的计划，继续对襄国进行围困。石祗自觉不是办法，并同时派遣使者向前燕及聚居于清河的羌人姚弋仲部求援，姚弋仲部派出其子姚襄率领羌族骑兵三万八千人，前燕慕容俊派出燕国御难将军悦绾率领三万人自龙城出发前往救援。
同年三月，后赵汝阴王、丞相石琨也从冀州率兵七万人与姚襄会合，三方兵力加起来就有十余万人，且多是精兵，实力不可小觑，冉闵听闻信息，分别派出车骑胡睦前往下场长芦抵御姚襄所率领的羌族骑兵三万八千人，派出将军孙威前往黄丘抵御石琨所部七万人，但两处作战均不利，分别为姚襄、石琨所败，所部兵力均被全歼，车骑胡睦、将军孙威两人只身逃回冉闵大营。旋即，姚襄、石琨、悦绾三方军队逼近襄国，冉闵欲亲自率所部十余万人倾巢而出，与姚襄、石琨、悦绾三方军队决一死战，而此时，冉闵帐下的卫将军王泰则向冉闵提出：“穷寇固迷，希望外援。今强救云集，欲吾出战，腹背击我。宜固垒勿出，观势而动，以挫其谋。今陛下亲戎，如失万全，大事去矣。请慎无出，臣请率诸将为陛下灭之”，意即此时不可倾巢与之战，如果与那三方军队立刻交战的话，一旦陷入胶著状态，石祗恐怕会出兵自后方袭击我军，我军腹背受敌，难以取胜，眼下之计，不如加筑防御攻势，静观时变，避其锐气，乱其计划，而且此事亦不需陛下御驾亲征，如果谋划不周，伤及陛下，到时我军群龙无首，就万事休矣，因此，末将请求陛下不要贸然领兵出战，就由营下诸将替陛下消灭敌军吧！冉闵认为正确，接受了他的建议，但随军道士法饶的一句话却让王泰的建议付诸东流，法饶说：“太白经昴，当杀胡王，一战百克，不可失也”，说是天意所指，冉魏此战必胜，冉闵一时血冲上脑，下定决意领兵出战，并说：“吾战决矣，敢谏者斩！”于是率领所部十余万人倾巢而出。战事果然如王泰所言，冉闵与姚襄、石琨、悦绾三方军队交战之时，石祗也率领出襄国，在后方袭击冉闵，冉魏大败。战中，于战前投降冉闵的胡人栗特康等人反叛，投降石祗，并生擒冉闵之子冉魏太原王、大单于、骠骑大将军冉胤和左仆射刘琦给石祗，石祗将二人杀死。同时，冉魏的司空石璞、尚书令徐机、车骑胡睦、侍中李琳、中书监卢谌、少府王郁、尚书刘钦、刘休等文武臣工和全部军队十余万人，都被乱军杀死。冉闵率领十余骑士兵躲回襄国行营，并于夜里趁暗逃回邺城。
石祗乘胜追击，派将军刘显率领七万官兵，驻扎在距离邺城二十三里的明光宫。冉闵听到消息后非常焦急，待头脑冷静时，立即派人请大将王泰来宫里商量对策。王泰对上次出兵冉闵不听他的苦口良言而耿耿于怀，于是便以伤口未愈为借口拒不应召，冉闵对此虽然很生气，但国难当头，只好亲自到王泰家请教迎战策略。当冉闵走到王泰身边时，王泰一动不动地躺在床上，反复强调自己身体不佳。冉闵讨了个没趣，回到宫里气得浑身发抖，他吼道：“巴奴王泰，难道离了你我就不能打胜仗了吗！走著瞧吧，等我消灭了刘显再让你见阎王。”果然，冉闵打败了刘显以后就以叛逃罪杀了王泰。刘显被打败后，秘密派人告诉冉闵，愿意杀掉石祗立功赎罪，待冉闵回到邺城后，刘显杀掉了后赵王石祗和丞相乐安王石炳、太宰赵庶等十多人，将石祗首级传到邺城。冉闵在邺城大道上焚烧了石祗的首级，授予刘显上大将军、大单于、冀州牧。同年七月，刘显再次率兵攻打邺城，被冉闵击败。刘显返回襄国称帝。
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1570年3月，大友宗麟欲讨伐在肥前国势力逐渐壮大的龙造寺隆信，便派遣弟弟大友亲贞率领6万大军进攻龙造寺领地，对此隆信仅集结了5千兵力防卫佐嘉城（佐贺城）。
大友军拥有压倒性的兵力优势，但龙造寺军士的士气一直很高昂使得大友军久攻不下，不过在龙造寺没有援军的情况下，城池陷落只是迟早的事。对此在筑后国的大友宗麟派遣援军给亲贞并同时下达总攻击的命令，亲贞亦决定于8月20日进行总攻击。在总攻击的前一晚，亲贞认为此战过度容易，便提前举办胜利酒宴，军队的斗志渐渐降低。
知道这件事的龙造寺军武将锅岛直茂便向主公隆信提议对大友军在今山的本阵进行夜袭，一开始隆信强烈反对，后来在隆信的生母、直茂的继母庆訚尼的劝说之下同意。直茂率领奇袭部队至大友军今山本阵之后方，8月20日清晨便马上对大友亲贞进行奇袭，亲贞在混乱中被龙造寺家臣成松信胜杀死，失去前线总大将的大友军于是败退，大友军在此战中伤亡人数至少超过2千余人。
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