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由于雅各布杰出的科学成就，1699年他当选为巴黎科学院外籍院士，1701年又被柏林科学协会接纳为会员。
雅各布和弟弟约翰·伯努利是莱布尼茨的朋友，他们迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大。雅各布在《学艺》上发表一系列的论文，1694年他首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式，这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出悬链线问题，后来又改变条件，解决了更复杂的悬链问题。1694年的论文讨论了双纽线的性质，伯努利双纽线因此得名。1695年他提出著名的伯努利方程。雅各布对对数螺线深有研究，他发现对数螺线经过各种变换后，结果还是对数螺线。在惊叹这曲线的奇妙之余，遗言要将这曲线刻在墓碑上，并附以颂词：“纵使变化，依然故我”。可惜雕刻师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了上去。
1713年雅各布的巨著《猜度术》的出版，是组合数学及概率论史的一件大事，书中给出的伯努利数有很多应用。还有伯努利定理，这是大数定律的最早形式。
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金朝封爵分国王（二国）、国王（一国）、王、郡王、国公、开国郡公、开国县公、开国侯（开国郡侯、开国县侯）、开国伯（开国郡伯、开国县伯）、开国子（开国郡子、开国县子）、开国男（开国郡男、开国县男）十一等十五种。国公为第五等，食邑三千户以上，食实封一般为食邑的十分之一，国名分大国、次国、小国三等，每等内部亦有高低次序；开国郡公为第六等，开国县公为第七等，食邑一千户以上，食实封一般为食邑的十分之一，一般以郡望或相应的县名封之。追赠的爵位不加“开国”一词，无食邑。
* 完颜撒改，陈国公，正隆二年由燕国王降
* 完颜阿离合懑，隋国公，正隆二年由隋国王降
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* 长子：庄世钧（1732年－1798年），嫡孙氏出，监生。
* 次子：庄世镛（1735年－？年），嫡孙氏出，官贵州都匀府麻哈州吏目，娶山西介休范氏。
* 三子：庄世钤（1738年－？年），嫡孙氏出，官江西南昌府经历，出嗣予弟庄汝益，娶顺天大兴王氏。
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