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2017年1月，蔡炎炎出战中国羽毛球国际挑战赛女子单打以及与高昉洁女子双打项目，蔡炎炎在决赛中以3比1的成绩（11-9、13-10、11-9、11-7）击败队友王祉怡并夺下个人生涯中首个国际赛冠军，但女双成绩则是止步于次圈。
同年11月，蔡炎炎在澳门羽毛球黄金大奖赛女单决赛2比1（21-15、17-21、21-16）击败中华台北的白驭珀，赢得了个人职业生涯首个黄金大奖赛冠军头衔，也打破了自3月份瑞士公开赛陈晓欣夺冠以来中国女单长达8个月的黄金大奖赛以上级别的冠军荒。
2018年3月，蔡炎炎出战澳洲羽毛球公开赛，在女单决赛中以2比0（21-14、21-13）击败日本的峰步美，赢得冠军。
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* 石宏，中国五胡十六国时代后赵的皇子，石勒之子。
* 石弘，中国五胡十六国时代后赵的君王。
* 石恢，中国五胡十六国时代后赵的皇子，石勒之幼子。
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* * 如果，即已经在这个环上，如图3所示，则对于与这两个环上的点，它们之间也存在环上两条相反的绕行方向的路径，于是与存在两条内部不相交的路径。
* * 如果，那么由于是2连通的，则考虑，其仍然是连通的。那么对于，此时存在另一条连接的路径。此时，如果与以及除了之外没有其他交点，如图4所示，则显然与就构成了连接的两条内部不相交路径；否则，令为与相交的最后一个交点，根据的对称性，不妨假设就在上，如图所示。那么考虑和，这两条路径则构成了连接的内部不相交路径。
* 于是无论如何，当时，均能至少找到连接的两条内部不相交路径。
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