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定义为以下两个几何变换的复合：先以点为圆心，为半径作反演变换；再关于角的平分线作对称变换。由于反演变换和对称变换都为双射且变换前后保留交点的性质，也有对应的性质。

点的旁切圆经变换后的图像为内切于、，以及外接圆的一个圆，即关于点的伪内切圆。因此关于点的伪内切圆唯一确定。类似地，关于点及点的伪切圆也唯一确定。

以下公式说明了三角形内切圆半径和-伪内切圆半径的关系：

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战后斗六街改制为斗六镇，隶属于台南县，大字亦改制为里。1946年8月，斗六、林内分治，本地区仍隶属斗六镇。1950年10月，云、嘉、南分治，斗六镇改隶属云林县。1981年，斗六镇升格为县辖斗六市。

本地区发展较早的聚落有施瓜藔、万年、十二抱竹、竹围仔、头前藔、下十三份、顶十三份、半路等，在日治期初期的官方地图上已有记载。此外，本地区尚有长安、新厝等聚落。

台铁纵贯线是台湾西部南北铁路干线，大致以东北—西南走向绕大弯转东微北—西微南走向再绕大弯转东北—西南走向经过竹围子地区东南部及南部边界外不远处。北侧最近的车站是石榴车站，属招呼站，仅停靠区间车；南侧最近的是斗六车站，属一等站，除部分普悠玛号、自强号外，其余列车皆停靠。由此等可前往台铁沿线各站。

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祝寿，字仁甫，山东济南府历城县人，明朝政治人物。

治《春秋》，行一，由国子生中式甲子科（1504年）山东乡试第三十二名举人，年三十三岁中式正德三年（1508年）戊辰科会试第二百三十一名，第三甲第一百二十二名进士。历任至贵州黎平府知府，嘉靖九年（1530年）五月升云南布政使司右参政，十二年五月升河南右布政使，十二月云南巡抚顾应祥与巡按御史杨东互讦，祝寿因与杨东等置酒高会，被降一级。十四年正月官员考察，以不谨闲住。

曾祖祝惟清。祖父祝升。父祝宽。前母张氏；母田氏。永感下，弟祝福。

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