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由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
若图的围长大于且，2000将不等式改进成
卡里姆·阿迪普拉西托将不等式推广到高维情况： 若为单体复形，且其维面数为，维面数为，满足，则当映射到（将图画在平面上的高维类比）时，相交的维面对的数目至少为
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格拉肯斯出生于家族世代居住的宾夕法尼亚州费城，有一个姐姐艾达（Ada）和一个哥哥路易斯·格拉肯斯。1890年，格拉肯斯毕业于费城中央高中，在学校就对绘画展现出极大的的兴趣。1891年11月，他就读宾夕法尼亚美术学院。
毕业后，格拉肯斯成为《费城记录报》（The Philadelphia Record）的美工、记者。1892年，他转而为费城出版社（Philadelphia Press）绘制插图。他读过宾夕法尼亚美术学院的夜校，师从现实主义画家托马斯·安舒茨等。约翰·斯隆也曾就读于该学院，他将格拉肯斯介绍给了画家罗伯特·亨利。亨利在他的工作室举办定期的艺术家聚会，阅读惠特曼和爱默生、威廉·莫里斯·亨特的《Talks on Art》和乔治·摩尔的《Modern Painting》，思考创造一种充满活力的新美国艺术的必要性。
1895年，格拉肯斯与包括亨利在内的几位画家一同前往欧洲游历。他首先抵达荷兰，其次到巴黎与亨利合租了一个工作室一年，并接触到印象派和后印象派艺术，马奈成为两人的偶像。
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暴盗龙类（学名：Tyrannoraptora）是虚骨龙类的一个进化支，被定义为“霸王龙和家麻雀最近共同祖先的所有后代”。该进化支在1999年由美国古生物学家Paul Sereno命名，尽管在他最初的概念中，暴龙超科是廓羽盗龙类的姐妹群。此后，系统发育分析皆遵循塞里诺的研究。然而，发现该类群还包括美颌龙科、似鸟龙类、阿瓦拉慈龙类和镰刀龙类。因此，暴盗龙类被分为暴龙超科和手盗龙形态类。
暴盗龙类是由保罗·塞里诺在1999年提出，以包含暴龙超科与手盗龙形类。
这个演化支的范围常因暴龙超科与其他虚骨龙类演化支的不确定关系，而有不同的改变。现今的范围是包含雷克斯暴龙与家麻雀在内的最小演化支。
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